范世祥、胡浩：环环相扣：追求自然的数学教学 ——以“任意角”教学为例
文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。
在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。
专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题
近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。
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摘要：基于“自然”的内涵要义，以“任意角”的设计与教学为例，关注数学对象的自然捕获，探明研究思路的自然联系，实现研究方法的自然建构.设计前后相连、环环相扣的问题串，引发学生思考与交流、探究与体验，助力学生形成和发展数学核心素养.
关键词：任意角；环环相扣；抽象概括；自然生成
《现代汉语词典》对“自然”一词有四种解释：1.自然界；2.自由发展；不经人力干预；3.表示理所当然；4.不勉强；不局促；不呆板。这四种解释体现为两层涵义，其一是指物质存在的事实，其二是指不经人力干预的自由发展的状态.“自然”就是一种无为而自成、自由的、发展的境界，因而，自然生长的事物展现出旺盛的生命力.
数学是自然的.人教A版教材（实验）在“主编寄语”中指出：数学教科书中的内容，是人类在长期的实践中经过千锤百炼的数学精华和基础，其中的数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的，它们的背景、形成过程、应用以及与其他概念的联系都是水到渠成、浑然天成的产物.自然的数学呼唤合情合理、有人情味的数学教学.
笔者基于“自然”的内涵要义和对数学精神的理解，执教了“任意角”这节课.现将本节课的教学实录与反思整理成文，与同行交流.
本节课是苏教版（也是人教A版）必修4第1章“三角函数”第一节第一课时的内容，属于概念课．有的教师可能认为本节内容十分简单，所以有一种不妥却很普遍的课堂教学行为是：首先将初中的角推广到任意角，然后在直角坐标系中表示任意角，利用整数k的任意性描述终边相同的角.“简单课”快速推进，学生得到的只是静态的、僵化的、没有迁移能力和生长潜力的知识，对“任意角”的教育价值认识不足、挖掘不够.
实际上，本节作为章节的起始课，在“简单知识”的背后蕴含了丰富的数学思想，是培养学生用数学眼光观察世界、用数学语言表达世界、用数学思维思考世界的难得素材.首先，用数学眼光来看，生活中有大量超出原有认知范围角的实例，要求我们必须把角的概念进行推广，才能解释清楚这些生活现象.其次，用数学思维来想.推广后的任意角在数学中如何刻画，怎样用符号来描述更加合理、方便.最后，用数学语言来表达.在直角坐标平面内表示任意角，会出现角不同但其终边重合的现象，如何区别这些具有相同几何特征的角，体现了数学中处理周期现象的一般原则.这一点对于学生来说是陌生的，理解有一定困难，而突破这一难点对深入学习本章十分重要.
学生从小学就开始学习角，对角的认识还是比较熟悉的.但是，小学生对角的认识只是感性的，处在“摸”的阶段；初中生对角的认识上升到“画”的操作，有一定的理性但仍是静态的认知，这是本节课乃至高中三角函数学习的生长点.但是在实践中，原有角的认知已经不能完全解释生活中的一些现象，角的范围需要扩充.另外，在学习本节之前，学生已经历了几次数系的扩充，即自然数到正数，再到有理数，最后到实数，每一次扩充都是为了满足生活生产的需要.这些数学学习的经验，为本节课角的范围扩大到任意角奠定了基础.
根据教学内容解析和学生学情分析，我确定本节课教学目标及重点、难点如下：
教学目标是观察生活情境，感受角的概念推广的必要性，理解“任意角”在实际生活中的意义和价值；了解任意角的概念，会用集合语言描述具有相同终边的所有角，经历任意角数学表示的过程，体验、感受任意角发现的快乐. 教学重点为任意角的概念及其表示. 教学难点为终边相同的角的表示.
为实现教学目标，本节课我以问题和活动为抓手，引导学生用数学眼光去观察生活中的情境，用数学思维去发现情境中的问题，促进学生数学认知能力的进一步发展.首先通过钟表上分针的校准、跳水运动员的旋转动作等情境，让学生亲身感受到已有角的认知存在局限性，产生认知冲突，引导学生提出问题.通过合作、探讨形成解决方案，逐步完善“任意角”的概念.在经历概念形成的过程中，鼓励学生独立思考、大胆探索，增强数学交流与合作意识、倾听与表达能力.
1. 任意角的概念生成
问题1：这些年，我们学过了哪些角？
追问1：初中时的角是如何定义的？
追问2：除周角和平角外，初中学习的角其范围是什么？
【设计意图】开门见山，明确研究对象——角。先放开让学生回忆、回答，然后教师再通过两个追问，让学生思维进入本节课知识的最近发展区.
问题2：
（1）这是每天早晨唤醒你的闹钟，现在发现快了10分钟，如何校准？
（2）如果现在发现闹钟慢了10分钟，如何校准？
（3）如果现在发现闹钟慢了1小时10分钟，如何校准？
追问1：以上时钟在校准的过程中，分针各转了多少度？
【设计意图】逐一呈现问题，用问题驱动学生思维，打开探究活动的闸门.其中，第（2）小问引出了旋转方向不同，该如何体现具有相反意义的旋转量呢？第（3）小问引出了超过的角，形成学生认知上的又一次冲突，吸引学生深入探究.
追问2：现实生活中，还有其它的通过“旋转”而产生角的情境吗？我们来说一说。
【设计意图】一问接一问，问题相连，层次渐深，带领学生用数学的眼光观察世界，如：跳水、体操、齿轮运转等生活情境，感知对初中角的概念进行推广的必要性，逐步自然地“逼出”任意角的概念，凝炼实际需要推动数学发展的科学观.
问题3：你认为怎样对角的概念进行推广呢？
学生尝试对角的概念进行推广，教师补充完善，形成任意角的概念.突出旋转方向以及旋转量两个要素，并给出角的表示方法，进而抛出本节课的课题名称：轻松玩转“任意角”.
【设计意图】位置和度量是几何的两个基本量，通过动手操作“转”角，让学生深切体会.“轻松”是在告诉学生本节课的内容难度不大，给学生以探究的信心；“玩转”是在幽默中体现利用旋转的视角来认识和研究角.
2. 任意角的研究
问题4：请画出下列角：，，.
【设计意图】此处让学生动手画角，有两个意图：一是巩固任意角的概念，这里的角有正角、负角，也有超过一周的角，需要学生准确标注旋转方向和旋转量，二是看看有多少同学会固定角的始边在同一位置，形成研究角的自觉意识：要体现“旋转量”的大小，首先必须要固定角的始边.进而，为后面引入平面直角坐标系作知识铺垫和心理准备.
问题5
（1）在数轴上我们是如何表示正、负数和零的？
（2）在平面直角坐标系中表示任意角，如何规定可以使得表示合理方便？
（3）想一想：角的终边所在位置有哪些不同类型？谈谈你的想法.
【设计意图】问题（1）是问题（2）的类比原型，设置问题（1）的意图就是让学生由数轴自然地联想起平面直角坐标系.在平面直角坐标系中表示任意角，固定始边在轴非负半轴，只要关注终边即可，这样引出任意角按照终边位置的分类（象限角、轴线角、区域角）.
为巩固此概念，设计以下辨析题：
例 下列说法正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角；
B．小于的角是第一象限角；
C．第二象限角是钝角；
D．第二象限角比第一象限角大.
问题6
（1）相等的角终边相同吗？终边相同的角相等吗？
（2）在平面直角坐标系中，作出下列角：，，.
（3）能否将所有与终边相同的角用数学语言表达出来？
（4）能否将所有与终边相同的角用数学语言表达出来？
【设计意图】设置层次渐深的问题串，引导学生自然顺畅地思考.第（1）问首先从概念上理解终边相同的角有无数个；然后通过第（2）问在坐标系中画角，发现终边相同的角相差的整数倍；与终边相同的角可以构成一个集合，用描述法表示该集合，体会集合语言的严谨简洁；最后从特殊到一般，归纳得出与终边相同的角的集合表示.这里要强调（）的几何意义是指在角终边的基础上再旋转圈回到原处，为正整数是逆时针方向旋转，为负整数是顺时针方向旋转，初步体验变化的周期性.
3. 任意角的应用
问题7
（1）给定角，请判定角是第几象限角.
（2）若角是第二象限角，请用集合语言表示出角.
（3）若角是第二象限角，试分别确定，，，，，是第几象限角？
【设计意图】第（1）问引导学生利用终边相同角的表示方法，将任意角转化为的角，再确定其终边所在的象限，第（2）问是第（1）问的逆向考查，第（3）问是第（2）问的变式考查.一方面让学生领略万变不离其宗，另一方面让学生感受问题研究的一般方法，正向考查、逆向考查、变式考查等，让学生学会提出问题.
4.课堂小结
师生共同回顾本节课的学习过程，归纳如下：
（1）知识结构：
（2）知识本质——静态向动态扩充，形成任意角，周而复始的周期变换.
（3）思想方法：数形结合思想——任意角的数量表示与终边在平面直角坐标系中位置之间的对应关系；化归思想——终边相同的角不一定相等，化归为终边相同的角的集合；分类思想——通过对整数k的讨论，确定角所在的象限。
课堂结束语：万物皆变，万物皆动；有平动，有转动；平动量距离，转动量角度.
【设计意图】帮助学生梳理本节课的知识与研究的脉络，感受在研究任意角过程中体现出的数学思想和方法、观念与意识.课堂结束语旨在帮助学生深刻理解任意角概念的运动本质，最后一句“转动量角度”的自然承接，为下节课用弧长来度量角度埋下伏笔.
在课堂设计与教学中，以任务主题为中心，以问题串解决为牵引，以自主探究活动为平台，搭建学生高阶思维的“脚手架”，使得课堂教学过程自然开展，追求学生有逻辑地自然思考，追求知识的自然生成，“任意角”的课堂教学因为自然而美好.
1.设计思路的自然，有利于教师的“教”
课堂教学过程的自然展开离不开精心的教学设计.设计恰当而有效的数学问题是教学过程自然展开的关键.问题是数学的心脏，让学生的思维从问题开始，思维活动又形成新的问题，这种递进式的设问过程为学生的主动学习搭起了支架，推动了课堂教学活动有序而又原生态地开展.本节课从校准时钟出发，让学生戴上“数学眼镜”，自主发现其中的数学元素，自觉提出凝炼的数学问题，自然引出对角的范围进行扩充的知识主题；得到任意角的概念后，自然涉及任意角的表示方法。问题4具有承上启下的功能，在学生“转”角的过程中又出现了新的问题，自然过渡到在直角坐标系中画角，…….问题的设计环环相扣，教学的过程自然顺畅，学生的思维不断地走向深入，整个课堂自然朴实而且高效.
体验、揭示知识发生、发展和形成的过程，帮助学生自主建构前后贯通的知识体系，促进学生思维能力的发展，培养学生的数学素养，是数学概念教学的核心任务.
2.教学细节的自然，有利于学生的“学”
数学学习应该是一个慢中求悟、自然生成、探究推理的过程.教学设计既要讲究格局，更要关注细节.数学核心素养视域下的课堂教学，应该让学生亲历知识的发生发展过程，教学力求朴实无华.课题的引入要以学生已有的知识为起点，朴素地追问现实中的数学问题；探究过程要自然地、有序地逼近数学本质，既要关注数学逻辑体系、内容主线、知识之间的关联，也要关注基于教材的学生数学认知逻辑链.为了实现有效教学的愿景，需要把复杂的问题分解成几个简单的、易于处理的问题，使活动始终贴近学生的数学现实，处于他们的知识最近发展区，让学生在自我发现、自主探究、动手实践、合作交流中的过程中感受知识和方法，通过探究知识的发生发展过程，增强学生的认知力，获得知识更拥有智慧.学生只有经历了质疑、判断、比较、选择，以及相应的分析、综合、概括等认知活动，感受多种观点的碰撞、论争和比较，才能真正理解和巩固所学知识，从而将数学素养和创新思维的培养真正落到实处.
整个教学过程中，教师主动放手、合理引导；学生自主探究、合作讨论、展示交流，亲身体验知识的生成过程，领悟数学发现的魅力.既有学生的独立思考，又有相互协作；既有合情的方法，又有合理的质疑，概念在对话中清晰而深入，思维在思辨中锤炼而升华.
事物只要源于自然，就该有旺盛的生命力.世间万物，皆因自然而茁壮，皆因生长而美好，数学教学也不例外！
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